wiedźma Margo wiedźma Margo
475
BLOG

Dialog o krzywiźnie 4. punktów: A, B, M i W w kole :-)

wiedźma Margo wiedźma Margo Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 3

A: Co Ty rozumiesz przez "krzywiznę o wartościach dodatnich"?

M: Ano to, że są dwa sposoby zakrzywiania się geodezyjnych przestrzennie: dodatnie i ujemne. I to zakrzywianie może przyjmować różne „wartości”. Przestrzeń też się może tak zakrzywiać. Istnieje coś takiego jak krzywizna ujemna lub krzywizna dodatnia jako określenie krzywizn pewnych powierzchni znane jako sfera i "siodło"? I krzywizna zmieniać się może z zerowej na dodatnia albo ujemną i zmienia wówczas swoje wartości…

A: Oczywiście, że istnieje coś takiego jak krzywizna ujemna lub krzywizna dodatnia. Tak samo jak "plaskatość" :) Sprawa czysto matematyczna, bo nie sądzę, że kawał kamienia lecący sobie gdzieś tam nagle zaczął się zastanawiać czy tam jest dodatnio, ujemnie czy zerowo :) Nie wiem, czy zmieniać się może, ale zasadniczo może być "dodatnia", "ujemna" albo "plaskata" czyli "o zerowej krzywiźnie". Z dotychczasowych pomiarów wynika że we Wszechświecie jest "plaskata". No chyba że inaczej rozumiemy pojęcia dodatniej, ujemnej czy też zerowej krzywizny przestrzeni.

M: Skoro może być "dodatnia", "ujemna" albo "plaskata" czyli "o zerowej krzywiźnie", to przecież może też się zmieniać, bo jakoś, coś musiało się stać, że jest "dodatnia" lub "ujemna” albo zerowa? To, że ekran NASZego wszechświata jest "plaskaty" nie znaczy, że cały wszechświat taki jest i wyłącznie taki. 

A: Tylko że pech chce, że wszelkie pomiary wskazują na "plaskatość" Wskażesz inne wyniki - daj znać, chętnie się zapoznam :) Mówimy o Kosmosie badanym, bo na różnych innych przestrzeniach to Ci spokojnie przedstawię takie, co to i siodłem są, a inne i innym również :) mam nadzieję że wiesz jak się mierzy czy to siodło czy co inne :)

B: A można zrobić ograniczony i spójny obszar w 3D z ujemną krzywizną?

A: Ujemna krzywizna to ta hiperboliczna, czyli przestrzeń jest otwarta.


B: Kula ma tylko dodatnią - przestrzeń eliptyczna, zamknięta.
A torus to chyba pół na pół - i średnio zero wychodzi...
Rura jest otwarta i prosta.
Inne kombinacje: poskręcane rury, butla Kleina - zero krzywizny.
Zatem wychodzi że nie mogą istnieć obiekty o ujemnej krzywiźnie.


M: ALE MOGĄ ISTNIEĆ OBIEKTY O KRZYWIŻNIE ZRÓŻNICOWANEJ, która dopiero w całości, ponadlokalnie się zeruje.

A spróbujcie sobie zrobić taki modelik orbifoldu:
weźcie wytnijcie z papieru kilka identycznych kół, każde przetnijcie i potem kolejno wszystkie je razem posklejajcie, i zobaczcie, co Wam z tego wyjdzie. Przetnijcie wzdłuż PROMIENIA! - zapomniałam dodać, bo dla mnie to oczywiste, ale może nie dla każdego. Czekam na wynik eksperymentu :-) Ja ten modelik nazywam „kandelabrem wiedźmy Margo”

A: Z pierścieni możesz zrobić spiralę, a z pełnych kół nie wiem co może wyjść... chyba nic, bo tego nie da się zapętlić (zamknąć).


M: Wystarczą na początek dwa kółka z papieru. Trzeba je rozciąć wzdłuż promienia - każde kółko osobno, a potem oba ze sobą skleić kawałkiem taśmy. Da się pięknie zapętlić i zamknąć w całość. Trochę będzie "pofalbaniony" taki orbifold. 
Jak będzie bardzo dużo takich kółek sklejonych, to wygląda to coś jak obiekt przestrzenny 3D o coraz mniejszej krzywiźnie ujemnej - gdybyśmy się posuwali od środka wzdłuż promienia - aż do zerowej krzywizny na krańcach tego obiektu.

Po pierwsze tak sobie wyobrażam obiekty - pola przestrzeni o krzywiźnie ujemnej dążącej wzdłuż promienia do zera czyli o zróżnicowanej krzywiźnie ujemnej. Jest tego pełno w kosmosie :-) A "obiekty materii"  o dodatniej krzywiżnie.

A : Kleję te dwa koła i wychodzi takie osiem, ale wcale nie jest pofalowane. To chyba będzie taki odpowiednik torusa... albo podwójnego, czyli dwie dziury np. w kuli.

M: Jak Ci wychodzi takie osiem, to znaczy, że źle je sklejasz. Jak wytniesz te dwa koła i przetniesz wzdłuż promienia, to ułóż jedno na drugim i wtedy sklejaj ze sobą.
 

B: Zamiast kółek z papieru takie n-torusy można robić za pomocą sznurka: n = liczba oczek, i wtedy tam wychodzi n^2-1 przeplotów.


A: Tak rozumując, mogę sobie ciachnąć kawałek hiperboloidy
i też to będzie taka szmatka z ujemną krzywizna. No, ale gdy to zamkniemy to wtedy dojdzie kawał hiperboliczny i krzywizna się
wyzeruje... ewentualnie zostanie tylko to co wynika z dziur (na wylot).


W: Średnia krzywizna dowolnego torusa (niezależnie od zanurzenia w przestrzeń euklidesową) jest równa zeru, a wynika to choćby z twierdzenia Gaussa-Bonneta:
en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem


M: A mój modelik? Jaką ma krzywiznę?

W: A jaką ma metrykę?


M: Hmm...Załóżmy, że to koło o obwodzie „O” = 2 pi 1.
Odległość pomiędzy parą jego elementów – przeciwległych punktów na okręgu - obwodzie jest ustalona w przestrzeni euklidesowej, ale teraz wykonując mój modelik choćby z dwóch sklejonych ze sobą kół, zwiększamy obwód okręgu. Promień się nie zmienia, więc co się dzieje z krzywizną obwodu na dwóch sklejonych ze sobą kołach? Co się dzieje z odległością przeciwległych punktów?

W: Obawiam się, że Twój modelik nie spełnia podstawowego warunku, nie jest bowiem rozmaitością Riemanna. Wszędzie poza środkiem sklejonych okręgów metryka jest płaska (ma zerową krzywiznę) więc i w środku powinna taką być (ciągłość metryki to wymusza), a jak sama pokazujesz, "krzywizna" w środku jest niezerowa (a tak naprawdę nieskończona, więc jeszcze gorzej).

M: Bo też będzie to trochę inna „rozmaitość” niż riemannowska.
Nie jest nieskończona w środku. Czy "niezerowa" to to samo, co "nieskończona"? No i krzywizna ta jest ZRóżNICOWANA przestrzennie – w różnych miejscach – obszrach inna. Na przykład ZMIENNA wzdłuż PROMIENIA.
Czy aby na pewno wszędzie poza środkiem sklejonych okręgów metryka jest płaska? A mnie się wydaje, że nie jest płaska. Na jakiej podstawie pan tak twierdzi?

W: Sam fakt, że model da się wykonać z papieru świadczy o tym metryka jest płaska (ma zerową krzywiznę). Rozumiem, że mówimy
o papierze idealnym, nieściśliwym i nierozciągliwym. Wszelkie dozwolone operacje na nim będą wówczas izometriami i krzywizna Gaussa nie będzie się zmieniać, lokalnie wszędzie poza środkiem otrzymana powierzchnia będzie przypominać powierzchnię stożka lub walca. Trójkąt płaski, którego nie dotknie cięcie, po gięciu i sklejeniu pozostanie trójkątem geodezyjnym i suma jego kątów
będzie dalej wynosiła Pi. 
Gdyby krzywizna w Środku była skończona, to im mniejszy bralibyśmy okrąg o środku w tym Środku, tym bardziej stosunek długości jego obwodu do długości promienia byłby bliski 2Pi (im mniejsze otoczenie, tym lepiej geometria powierzchni byłaby przybliżana przez geometrię euklidesową). W Twoim przykładzie stosunek ten jest stały i wynosi 4Pi.


M: No, ciekawe, prawda?

W: To jest sytuacja analogiczna do sytuacji jaką mamy sklejając stożek z wycinka koła. Wszędzie geometria jest płaska (krzywizna Gaussa jest zerowa), z wyjątkiem wierzchołka stożka, w którym próba wyliczenia krzywizny nieuchronnie daje wynik nieskończony, co jest zresztą intuicyjnie oczywiste.

M: Sklejając stożek z wycinka koła mamy inną sytuację. U podstawy i w wierzchołku. Mamy tam do czynienia z krzywizną dodatnią. Ponieważ krzywizna u podstawy takiego stożka jest dodatnia względem krzywizny CAŁEGO KOŁA. Jeśli mamy koło o promieniu r = 1 i obwodzie „O”, to gdy zrobimy stożek z wycinka koła, na przykład z ¾ lub ½ koła, to krzywizna obwodu „O” podstawy stożka nie zmieni się względem obwodu „O” koła? Bo według mnie zmieni się. A co z pozostałymi obszarami stożka i ich krzywizną?

Jeśli mamy koło o promieniu 1, to koło składamy na pół i z tej podwójnej połowy utworzymy stożek, to po pierwsze obwód -okrąg w podstawie stożka zmniejsza się WZGLĘDEM obwodu- okręgu koła o połowę. A co z promieniem? Też zmniejszył się o połowę. Krzywizna obwodu całego koła była zerowa 2 pi 1, ale zmieniła się w procesie takiego przekształcenia, jakiego dokonaliśmy do postaci 4 pi 1/2, więc o co tu chodzi? Wielkość krzywizny dodatniej można ustalić jako 1/r, więc najpierw mieliśmy 1/1, a potem 1/2, więc co się stało w tym przetworzeniu koła do stożka bez przecinania koła?
A zrobił Pan model, żeby to coś zobaczyć na własne oczy?

W: Ja nie tylko zrobiłem model, ja też wszystko sobie przeliczyłem, by mieć pewność, że mam rację :-) W każdym razie mam rację według standardowej geometrii różniczkowej i jej rozumienia pojęcia krzywizny. Być może operuje Pani jakąś inną jej wersją, mam jednak wrażenie, że ta inna wersja nie przeszłaby
zwycięsko próby ognia, czyli rachunków ...


M: Ja mam nadzieję, że to tylko pańskie wrażenie! A czym ono jest, to wrażenie? Przepowiednią? Intencją?

W: Intuicją, płynącą z ponad trzydziestoletniego doświadczenia zawodowego w operowaniu pojęciami, o których mówimy.

M: Ciekawe... Cieszy mnie, że Pan to wszystko wykonał, ale smuci, że chodzi właśnie o udowodnienie, że ma pan rację:-(
Problem w tym, że chcąc udowadniać rację, która jest oparta na starych wzorcach, ograniczamy w ten sposób swoją świadomość.
Wiem to z własnego doświadczenia :-)

W: Rzecz w tym, że nie mamy innych wzorców. Wygłaszając jakieś tezy na temat krzywizny muszę opierać się na ścisłej definicji tej krzywizny, a ja znam tylko jedną definicję tego pojęcia, lub mówiąc ściślej, kilka definicji, ale całkowicie równoważnych.

M: Cóż, może należałoby stworzyć nowe. Chciałabym, żeby Pan życzył mi raczej, aby moja wersja przeszła zwycięsko próby ognia czyli rachunków. To byłoby pozytywne działanie na rzecz rozwoju nauki :-)

W: Tego niestety nie mogę życzyć, gdyż tym samym musiałbym życzyć sobie, by całe moje doświadczenie okazało się być zbudowane na nieistniejącym fundamencie.Mogę jedynie życzyć i Pani i sobie nieustających wysiłków w dążeniu do poznania prawdy.

M: Niestety, tym razem to ja odnoszę wrażenie, że geometria różniczkowa nie jest na razie przydatna do odkrycia grawitacji kwantowej, jeżeli służy do "wyprostowywania" wszystkiego na siłę. Z kolei nie jest moją intencją obalanie istniejących metod i teorii, lecz dążenie do zrozumienia praw natury kwantowej, zwłaszcza grawitacji. Oto przykład.

Kartka papieru o zerowej krzywiźnie. Gdy zgnieciemy ją do postaci kulki, to mimo jej pewnej chropowatości powierzchniowej, możemy udowodnić, że ilość "dodatnich" i "ujemnych" zakrzywień w kulce jest taka sama, więc się zeruje. Ale w ten sposób pomijamy fakt, że kulka przestrzennie uzyskała swoją własną powierzchniową krzywiznę dodatnią. Takie przejście moglibyśmy uznać za „skwantowanie” „płaskiego tworu” do jego „niepłaskiego przejawu” :-) A przy tym, co najważniejsze, papierowa kulka jest innym stanem, powiedzmy kwantowym, kartki papieru.

Poza tym papierowa kulka posiada inne właściwości fizyczne w tym sensie, że na przykład może dużo swobodniej i inaczej niż karta toczyć się po blacie stołu. A to znaczy, że płaska powierzchnia kartki nie jest tak samo płaska jak powierzchnia papierowej kulki. Ich krzywizny są różne. Zróżnicowane.

Kartka jest „obiektem” rodem z euklidesowej płaszczyzny 2D (świetnie się na niej mieści cała) i jest "obiektem", który przechodząc do stanu kulki przenosi się do innej wymiarowości - np. przestrzeni euklidesowej 3D. Takie przejście nazywam kwantowaniem.

Rozprostowanie kulki z powrotem do stanu kartki pozbawia ją świeżo nabytych właściwości. Stąd niemożliwa staje się obserwacja jej nowo nabytych właściwości na płaszczyźnie euklidesowej.
Model „kandelabru” służy między innymi do tego, by te różnice między krzywiznami zacząć obserwować. Dzięki temu modelowi możemy zaobserwować w jaki sposób z przestrzeni „niematerialnej” o danej, określonej energii – Grawitorów fotonowych powstają obiekty „materii” takie jak na przykład atom wodoru.


(podobny dialog odbył się na innym forum dyskusyjnym w roku 1999:-)

 

A oto model kandelabru wiedzmy M.

model atomu wodoru

 

Pozdrawiam czytających

" Rzeczywistość składa się z nieskończonego strumienia interpretacji postrzegania, które my, jednostki posiadające specyficzne członkostwo nauczyliśmy się odczuwać jako oczywiste. (...) Nasz odbiór rzeczywistości jest przez nas uznawany za tak niepodważalny, że podstawowe założenie magii traktujące go jedynie jako jeden z wielu opisów, niełatwo przyjąć poważnie." " Don Juan - człowiek wiedzy i nauczyciel Carlosa Castanedy. ------------------------------------------------- dodatek z dnia 13.09.09 "Każdy człowiek tworzy swoją osobistą historię ze swojej własnej i jedynej w swoim rodzaju perspektywy. Po co w takim razie narzucać innym swoją wersję, jeśli będzie ona dla nich nieprawdziwa? Kiedy to zrozumiesz, nie będziesz odczuwać potrzeby obrony tego, w co wierzysz. Nie jest ważne to, aby mieć rację i dowieść innym, że są w błędzie. Postrzegaj każdego człowieka jako ARTYSTĘ, kogoś, kto ma ci do opowiedzenia jakąś historię. Wiedz, że to, w co wierzą inni, jest po prostu ich punktem widzenia, i że nie ma to z Tobą nic wspólnego." Don Miguel Ruiz ------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Moje notki "unifikacyjne": 1. Geometria kwantowa 1 2. Geometria kwantowa 2 3. Geometria Kwantowa 3 -wstęp do kwantowej grawitacji 4. Geometria kwantowa 4 5. Torusy 6. Prędkość grawitacyjna a stała Plancka 7. Kwanty światła i eter - część I. 8. Kwanty światła i eter - część II. pozostałe notki w polecane strony

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie